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La triangulation

Principe de la triangulation :

La triangulation fut inventée par le hollandais Willebord Snellius au début du XVIIème siècle. Le principe repose sur le fait que si l’on connaît deux angles et un côté d'un triangle, on connaît tous les côtés de ce triangle. Ce résultat sur lequel s'appuie la méthode invite à n'effectuer qu'une seule mesure linéaire (celle de la base) et une série de mesures angulaires. Pour retrouver la mesure des autres côtés du triangle, il faut employer les formules trigonométrie suivantes.

formules de trigo : b=a*sin(beta)=a*cos(gamma),c=a*sin(gamma)=a*cos(beta),a²=b²+c²

Malheureusement, les mesures effectuées par Delambre et Méchain sont bien plus complexes, car elles sont effectuées en 3D et les triangles mesurés ne sont pas placés dans un plan rectiligne. Cela les a amenés à effectuer énormément de calculs en plus de leurs mesures.

Principales étapes de la triangulation de Delambre et Méchain:

Meridienne

Tout d’abord, les géodésiens Delambre et Méchain ont dû choisir de part et d'autre de l’arc de méridien des points élevés (A,P,Q,R,S,T,...B), clochers, tours, châteaux, de sorte que, depuis chacun d'eux, ils puissent apercevoir les deux ou trois suivants. Pour ce faire, ils ont érigé des signaux pour rendre ces points plus facilement visibles.

Ensuite, ils ont établit une chaîne de triangles de telle manière que deux triangles successifs aient un côté commun et que la suite de leurs sommets, situés de part et d'autre de l'arc de la méridienne soit telle que chacun soit visible des deux précédents et des deux suivants.

Puis ils ont mesuré les angles des triangles par des visées effectuées à l'aide du cercle répétiteur (mesures géodésiques). Ils ont également mesuré, sur le terrain même , à l'aide de règles plates, un seul côté de l'un des triangles : la base (arpentage). La base de départ, d'une longueur d'environ 6000 toises (11,7 kilomètres), fut mesurées près de Melun ; à titre de vérification, une seconde base fut mesurée près de Perpignan.

Pour ces mesures, dirigées par Delambre et Laplace, ils utilisèrent des « règles de Borda », confectionnées par Lenoir et ajustées sur la Toise de l'Académie ; chaque règle, longue de 12 pieds (environ 4 m) était un couple de deux tiges, l'une en platine, l'autre en laiton, placées l'une sur l'autre, réunies par une de leurs extrémités, et terminées par des verniers, ce qui permettait de tenir compte d'une manière précise de la dilatation due à la température ; on les reportait successivement, en ligne droite, tout au long de la base.

Mesure de la base

Il a fallu ensuite déterminer l'inclinaison des côtés des triangles par rapport au méridien. Pour cela, ils ont mesuré l'angle formé entre les côtés du triangle et le méridien (mesures astronomiques).

Les sommets de triangles, matérialisés par des signaux n'étant pas situés à la même hauteur, les triangles sont « inclinés ». Pour les ramener à l'horizontale, ils ont dû mesurer l'angle que fait chacun d'eux avec la verticale (mesures zénithales).

Les longueurs et les azimuts des côtés d'un triangle permettent de déterminer (par projection sur la méridienne) la longueur des segments de méridien recouvert par les triangles.

Le premier sommet de la triangulation a été placé à Dunkerque, le dernier au fort de Monjouy(Barcelone), tous deux situés sur le même méridien.

La meridienne

Pour obtenir l'orientation de la chaîne de triangles par rapport au méridien, Delambre et Méchain n'avaient plus qu'à mesurer l'angle que faisait le coté AP avec le méridien: son azimut. Par projection, ils obtenaient le segment de méridien AX . Puis, en utilisant l'azimut de PQ, ils déterminaient le segment XY, puis YZ...jusqu'à B. La somme des longueurs fournissait la longueur totale de l'axe AB.

Mais les triangles étant dans l'espace, chacun dans un plan différent, non horizontal la plupart du temps, ils ont dû ramener ces mesures « à l’horizontale », au niveau de la mer. Pour cela, ils ont mesuré l’angle de chaque côté d’un triangle avec la verticale du lieu : ce sont les mesures zénithales (mesures toujours effectuées avec le cercle répétiteur de Borda). Dunkerque et Barcelone étant au niveau de la mer, les calculs ont été facilités.

Les triangles sont mis à plan

Les triangles ainsi obtenus sont des triangles projetés sur la terre, donc sphériques (la somme de leurs angles est différente de 180°). Ils ont donc calculé les angles du triangle « rectiligne » associé et en ont déduit tous les angles des triangles « plans » à l’aide des formules de trigonométrie sphérique.

Ils ont ensuite projeté la longueur d’un côté du triangle sur la méridienne : pour cela, ils ont mesuré l’azimut (angle formé par le côté du triangle et la méridienne) avec le cercle répétiteur de Borda.

Enfin, ils devaient déterminer l'amplitude de l'arc mesuré, c’est-à-dire la différence de l’attitude des deux points extrême de l’arc. Pour cela, il leur a suffit de calculer les attitudes des deux extrémités. Il s'agissait à nouveau de mesures astronomiques, effectuées à l'aide du cercle répétiteur.

Merdienne

Disposant de la longueur de l'arc et de son amplitude, ils déterminaient alors la longueur du méridien (en apportant évidemment maintes corrections dues à l’appareil, à la réfraction, aux règles plates...). La dix-millionième partie de cette longueur était le mètre !!!

La méthode de la triangulation fût aussi utilisée pour beaucoup d’autres usages : navigation, GPS, relevés typographiques...